Question

已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x），滿足f（x）=pf（x+q），pq≠0，則稱為“等比函數(shù)”，p稱為“公比”，q稱為“項(xiàng)距”．已知函數(shù)f（x）是公比為

1

3

，項(xiàng)距為

2

3

的“等比函數(shù)”，且x∈[0，

2

3

）時(shí)，f（x）=

-3x2+2x

，則當(dāng)x∈[

2

3

n.

2

3

（n+1）]（n∈N^*）時(shí)，f（x）的最大值中的最小值為（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2

  2

• D、2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意得，f（x）=

1

3

f（x+

2

3

），當(dāng)x∈[

2

3

，

4

3

），即有x-

2

3

∈[0，

2

3

），即可得到f（x-

2

3

），進(jìn)而得到f（x）的表達(dá)式，進(jìn)而求得最大值．

解答： 解：由題意得，f（x）=

1

3

f（x+

2

3

），
x∈[0，

2

3

）時(shí)，f（x）=

-3x2+2x

，
當(dāng)n=1時(shí)，x∈[

2

3

，

4

3

]，即有x-

2

3

∈[0，

2

3

]，f（x-

2

3

）=

-3(x- 2 3 )2+2(x- 2 3 )

=

-3(x-1)2+ 1 3

=

1

3

f（x），則有f（x）=3

-3(x-1)2+ 1 3

，
則當(dāng)x=1時(shí)，取得最大值3×

3

3

=

3

，
當(dāng)n=2，x∈[

4

3

，2]，則x-

4

3

∈[0，

2

3

]，
f（x-

4

3

）=

-3(x- 4 3 )2+ 1 3

=

-3(x- 5 3 )2+ 1 3

=

1

3

f（x-

2

3

）
=

1

9

f（x），即有f（x）=9

-3(x- 5 3 )2+ 1 3

，則當(dāng)x=

5

3

時(shí)，取得最大值9

1 3

=3

3

，
同理n=3，x∈[2，

8

3

]，f（x）=27

1 3 -2(x- 7 3 )2

，當(dāng)x=

7

3

時(shí)，取得最大值9

3

．
故可得到，當(dāng)x∈[

2

3

n.

2

3

（n+1）]（n∈N^*）時(shí)，f（x）的最大值為3^n-1

3

．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查新定義及運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查二次函數(shù)的最值，注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．