Question

若定義在R上的函數(shù)y=f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0對于任意的實數(shù)x都成立，則稱f（x）是一個“λ的相關函數(shù)”，則下列結論正確的是（　�。�

• A、f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個“λ的相關函數(shù)”
• B、f（x）=x²是一個“λ的相關函數(shù)”
• C、f（x）=e^-x是一個“λ的相關函數(shù)”
• D、“

  1

  2

  的相關函數(shù)”至少有一個零點

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用,簡易邏輯

分析：利用新定義“λ的相關函數(shù)”，對A、B、C、D四個選項逐個判斷即可得到答案

解答： 解：對于A，設f（x）=C是一個“λ的相關函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-伴隨函數(shù)”，故A不正確；
對于B，用反證法，假設f（x）=x²是一個“λ的相關函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數(shù)x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個“λ的相關函數(shù)”，故B不正確；
對于C，假設f（x）=e^-x是一個“λ的相關函數(shù)”，則e^-（x+λ）+λe^-x=0對任意實數(shù)x∈R成立，則e^-λ+λ=0，此式無解，
∴f（x）=e^-x不是一個“λ的相關函數(shù)”，故C不正確；
對于D，令x=0，得f（

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）+

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f（0）=0，所以f（

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）=-

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f（0），
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數(shù)根；若f（0）≠0，f（

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）•f（0）=-

1

2

[f（0）]²＜0．
又因為f（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0，

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）上必有實數(shù)根．因此任意的“

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的相關函數(shù)”必有根，即任意“

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的相關函數(shù)”至少有一個零點，
故D正確．
故選：D．

點評：本題考查函數(shù)的概念及構成要素，考查函數(shù)的零點，正確理解λ的相關函數(shù)的概念是關鍵，屬于中檔題．