Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P（0，1），離心率為

2

2

，直線l：y=kx+m交橢圓于不同于點(diǎn)P的兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得b=1，

c

a

=

2

2

，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

y=kx+m x2 2 +y2=1

⇒(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明直線l過定點(diǎn)(0，-

1

3

)．

解答： （1）解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P（0，1），離心率為

2

2

∴b=1，

c

a

=

2

2

，

c2

a2

=

1

2

，

a2-1

a2

=

1

2

，a2=2
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1…（4分）
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組

y=kx+m x2 2 +y2=1

⇒(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0，
△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，
即：2k²-m²+1＞0…（*）
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2(m2-1)

1+2k2

…（6分）y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

-2k2+m2

1+2k2

，y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m=

2m

1+2k2

，
∵k_PA•k_PB=-1，
∴

y1-1

x1

•

y2-1

x2

=-1，…（8分）
即y₁y₂-（y₁+y₂）+x₁x₂+1=0

-2k2+m2

1+2k2

-

2m

1+2k2

-

4km

1+2k2

+1=0，
整理，得：3m²-2m-1=0，
解得m=1（舍）或m=-

1

3

，
∴直線l過定點(diǎn)(0，-

1

3

)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．