Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，無單調(diào)遞減區(qū)間；（2）.

【解析】

（1）化簡，求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）設(shè)，則，對求導(dǎo)，分類討論，分別判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求導(dǎo)的最值，驗證是否合題意即可

（1）因為（且），所以.

設(shè)，則.

當(dāng)時，，是增函數(shù)，，所以.

故在上為增函數(shù)；

當(dāng)時，，是減函數(shù)，，所以，所以在上為增函數(shù).

故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，無單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）設(shè)，則.

已知條件即為當(dāng)時.

因為為增函數(shù)，所以當(dāng)時，.

①當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，且時等號成立.

所以在上為增函數(shù).

因此，當(dāng)時，.

所以滿足題意.

②當(dāng)時，由，得，解得.

因為，所，所以.

當(dāng)時，，因此在上為減函數(shù).

所以當(dāng)時，，不合題意.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.