Question

10．如圖，橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，A₁，A₂，B₁，B₂為橢圓頂點，F(xiàn)₂為右焦點，延長B₁F₂與A₂B₂交于點P，若∠B₁PB₂為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$，1）
• B． （0，$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）

Answer 1

分析 根據∠B₁PB₂為$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$與$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$的夾角，并分別表示出$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$與$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$，由∠B₁PB₂為鈍角，$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$＜0，得ac-b²＜0，利用橢圓的性質，可得到e²+e-1＜0，即可解得離心率的取值范圍．

解答 解：如圖所示，∠B₁PB₂為$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$與$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$的夾角；
設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c，
$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$=（-a，b），$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=（-c，-b），
∵向量的夾角為鈍角時，$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$＜0，
∴ac-b²＜0，
又b²=a²-c²，
∴a²-ac-c²＞0；
兩邊除以a²得1-e-e²＞0，
即e²+e-1＜0；
解得$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又∵0＜e＜1，
∴0＜e＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案選：C．

點評 本題考查了橢圓的幾何性質的應用問題，解題時利用向量的數量積小于0，建立不等式，求出正確的結論，是中檔題．