A. | (-$\frac{2}{3}$,+∞) | B. | (-∞,-$\frac{2}{3}$) | C. | (-$\frac{2}{3}$,0) | D. | (-1,-$\frac{2}{3}$) |
分析 根據題意可知:函數恰有兩個零點,構造函數y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|與y=a+3,則只需兩圖象有兩個交點,記g(x)=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$,利用導函數判斷函數的單調性,求出函數的最值,得出y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|,利用圖象有兩交點得出不等式a+3>1-2a,求解即可.
解答 解:函數f(x)=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|-a-3(a<0)為“雙胞胎”函數,
∴函數恰有兩個零點,令f(x)=0,
∴|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|=a+3,
∴兩圖象有兩個交點,記g(x)=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$,
g'(x)=$\frac{a{x}^{2}-x-a+1}{{x}^{2}}$(x>0),
令h(x)=ax2-x-a+1,
當a<0時,h(x)=a(x-1)[x-($\frac{1}{a}$-1)]×$\frac{1}{a}$-1<0,
當x在(0,1)時,h(x)>0,g'(x)>0,g(x)遞增,
當x在(1,+∞)時,h(x)<0,g'(x)<0,g(x)遞減,
∴當a<0時,g(x)的最大值為g(1)=2a-1;
由a<0,得2a-1<-1,
∴g(x)的圖象均在x軸下方,
∴y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|的圖象與g(x)的圖象關于x軸對稱,
即y的最小值為1-2a,在(0,1)遞減,(1,+∞)遞增,
∴a+3>1-2a,
∴a>-$\frac{2}{3}$,a<0,
故選:C.
點評 考查了零點問題轉化為函數交點問題,難點是對函數的構造,利用導函數求函數的最值.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | b2f(a)<a2f(b) | B. | b2f(a)>a2f(b) | C. | a2f(a)<b2f(b) | D. | a2f(a)>b2f(b) |
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