精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
5.若一個函數恰有兩個零點,則稱這樣的函數為“雙胞胎”函數,若函數f(x)=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|-a-3(a<0)為“雙胞胎”函數,則實數a的取值范圍為( 。
A.(-$\frac{2}{3}$,+∞)B.(-∞,-$\frac{2}{3}$)C.(-$\frac{2}{3}$,0)D.(-1,-$\frac{2}{3}$)

分析 根據題意可知:函數恰有兩個零點,構造函數y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|與y=a+3,則只需兩圖象有兩個交點,記g(x)=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$,利用導函數判斷函數的單調性,求出函數的最值,得出y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|,利用圖象有兩交點得出不等式a+3>1-2a,求解即可.

解答 解:函數f(x)=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|-a-3(a<0)為“雙胞胎”函數,
∴函數恰有兩個零點,令f(x)=0,
∴|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|=a+3,
∴兩圖象有兩個交點,記g(x)=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$,
g'(x)=$\frac{a{x}^{2}-x-a+1}{{x}^{2}}$(x>0),
令h(x)=ax2-x-a+1,
當a<0時,h(x)=a(x-1)[x-($\frac{1}{a}$-1)]×$\frac{1}{a}$-1<0,
當x在(0,1)時,h(x)>0,g'(x)>0,g(x)遞增,
當x在(1,+∞)時,h(x)<0,g'(x)<0,g(x)遞減,
∴當a<0時,g(x)的最大值為g(1)=2a-1;
由a<0,得2a-1<-1,
∴g(x)的圖象均在x軸下方,
∴y=|ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$|的圖象與g(x)的圖象關于x軸對稱,
即y的最小值為1-2a,在(0,1)遞減,(1,+∞)遞增,
∴a+3>1-2a,
∴a>-$\frac{2}{3}$,a<0,
故選:C.

點評 考查了零點問題轉化為函數交點問題,難點是對函數的構造,利用導函數求函數的最值.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:填空題

13.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為$\frac{8}{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

14.已知二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(0,1),且f(x+1)+x-2=x2-3;
(1)求f(x)的解析式;
(2)方程f(x)-k=0的兩個實根x1,x2滿足x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=45,求k值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:填空題

11.若函數f(x)=x2-2ax+9在區(qū)間[2,6]內有2個零點,則a的范圍為$(3,\frac{13}{4}]$.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

18.已知定義在(0,+∞)上的函數f(x)的導函數為f′(x),且滿足xf′(x)>2f(x),若a>b>0,則( 。
A.b2f(a)<a2f(b)B.b2f(a)>a2f(b)C.a2f(a)<b2f(b)D.a2f(a)>b2f(b)

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:填空題

10.若方程x2-2ex+m-$\frac{lnx}{x}$=0有解,則m的取值范圍為(-∞,e2+$\frac{1}{e}$].

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:填空題

17.已知集合A={1,4,m},集合B={1,m2},若B⊆A,則實數m∈{0,2,-2}.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

14.已知二次函數f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x-1,且f(0)=3.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)若函數y=f(log3x+m),x∈[$\frac{1}{3}$,3]的最小值為3,求實數m的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:選擇題

15.在等比數列{an}中a1=1,a4=64,則公比q的值為( 。
A.2B.4C.6D.8

查看答案和解析>>

同步練習冊答案