Question

15．己知過點M（x₁、y₁）的直線l₁：x₁x+3y₁y=6與過點N（x₂，y₂）（其中x₂≠x₁）的直線l₂：x₂x+y₂y=6的交點E在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點，P為GH的中點．
（1）證明：|OP|=|OE|；
（2）求△OPG的面積．

Answer 1

分析 （1）設點E（m，n），求出直線MN的方程為mx+3ny=6，設G，H分別是直線MN與漸近線x-$\sqrt{3}$y=0及x+$\sqrt{3}$y=0的交點，分別求出交點坐標，再根據(jù)中點坐標公式求出點P的坐標，問題得以證明，
（2）設MN與x軸的交點為Q，則在直線mx+3ny=6，令y=0得，則x_Q=$\frac{6}{m}$，S_△OPG=$\frac{1}{2}$S_△OHG，問題得以解決．

解答 解：（1）由題意知，點E（m，n）在直線l₁：x₁x+3y₁y=6和l₂：x₂x+y₂y=6上，
因此直線MN的方程為mx+3ny=6．
設G，H分別是直線MN與漸近線x-$\sqrt{3}$y=0及x+$\sqrt{3}$y=0的交點，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{mx+3ny=6}\\{x-\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$及$\left\{\begin{array}{l}{mx+3ny=6}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{m+\sqrt{3}n}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}n}}\end{array}\right.$及$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{m-\sqrt{3}n}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{-m+\sqrt{3}n}}\end{array}\right.$，
∴G：（$\frac{6}{m+\sqrt{3}n}$，$\frac{2\sqrt{3}}{m+\sqrt{3}n}$），H：（$\frac{6}{m-\sqrt{3}n}$，$\frac{2\sqrt{3}}{-m+\sqrt{3}n}$），
∴P=（$\frac{6m}{{m}^{2}-3{n}^{2}}$，$\frac{6n}{3{n}^{2}-{m}^{2}}$），
∵m²-3n²=6，
∴P（m，-n），
∴|0P|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，|OE|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴|OP|=|OE|；
（2）設MN與x軸的交點為Q，則在直線mx+3ny=6，令y=0得，則x_Q=$\frac{6}{m}$
∴S_△OPG=$\frac{1}{2}$S_△OHG=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$|0Q|•|y_G-y_H|=$\frac{1}{4}$•$\frac{6}{|m|}$•|$\frac{4\sqrt{3}m}{{m}^{2}-3{n}^{2}}$|=$\sqrt{3}$

點評 本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件，仔細解答，屬于中檔題．