Question

5．設(shè)橢圓M：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率與雙曲線x²-y²=1的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為4．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若直線y=$\sqrt{2}$x+m交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，P（1，$\sqrt{2}$）為橢圓M上一點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得雙曲線的離心率，由題意可得橢圓的離心率，求得a，b，即可得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，由三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（1）雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，
由題意可得橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由2a=4，b²=a²-c²，得a=2，$c=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{2}$，
故橢圓M的方程為$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$；
（2）聯(lián)立方程$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+m}\\{\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$，得$4{x^2}+2\sqrt{2}mx+{m^2}-4=0$，
由$△={（2\sqrt{2}m）^2}-16（{m^2}-4）＞0$，
得$-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$．且$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}m}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{4}}\end{array}}\right.$，
所以$|{AB}|=\sqrt{1+2}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{3}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$，
=$\sqrt{3}•\sqrt{\frac{1}{2}{m^2}-{m^2}+4}=\sqrt{3}•\sqrt{4-\frac{m^2}{2}}$．
又P到直線AB的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{3}}}$，
所以${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}|{AB}|d=\frac{1}{2}\sqrt{3}•\sqrt{4-\frac{m^2}{2}}•\frac{|m|}{{\sqrt{3}}}=\frac{1}{2}\sqrt{（4-\frac{m^2}{2}）•{m^2}}$
=$\frac{1}{{2\sqrt{2}}}\sqrt{{m^2}（8-{m^2}）}≤\frac{1}{{2\sqrt{2}}}•\frac{{{m^2}+（8-{m^2}）}}{2}=\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$m=±2∈（-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$時取等號，
所以${（{S_{△PAB}}）_{max=}}\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式，考查直線和橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．