Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{cx-1}{x+1}$（c為常數(shù)），且f（1）=0．
（1）求c的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在[0，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）已知函數(shù)g（x）=f（e^x），判斷函數(shù)g（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（1）=$\frac{c-1}{2}$=0，解得c=1；
（2）運(yùn)用單調(diào)性定義證明；
（3）運(yùn)用奇偶性定義證明．

解答 解：（1）因?yàn)閒（1）=$\frac{c-1}{2}$=0，所以c=1，即c的值為1；
（2）f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$=1-$\frac{2}{x+1}$，在[0，2]單調(diào)遞增，證明如下：
任取x₁，x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{2}{{x}_{1}+1}$）-（1-$\frac{2}{{x}_{2}+1}$）
=2[$\frac{1}{{x}_{2}+1}$-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$]=2•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以，f（x）在[0，2]單調(diào)遞增；
（3）g（x）=f（e^x）=$\frac{e^x-1}{e^x+1}$，定義域?yàn)镽，
g（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=$\frac{1-e^x}{1+e^x}$=-$\frac{e^x-1}{e^x+1}$=-g（x），
所以，g（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)奇偶性的判斷和證明，用到了單調(diào)性和奇偶性的定義，以及作差比較法，屬于中檔題．