Question

設f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N），是否存在關于正整數(shù)的函數(shù)g（n），使等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）•[f（n）-1]對于n≥2的一切自然數(shù)都成立？證明你的結論．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：當n=2時，f（1）=g（2）•[f（2）-1]，依題意，易求g（2）=

f(1)

f(2)-1

=2；n=3時，同理可求g（3）=3，猜測g（n）=n（n≥2）．然后利用數(shù)學歸納法證明即可．

解答： 解：當n=2時，f（1）=g（2）•[f（2）-1]，又f（1）=1，f（2）=

3

2

，得g（2）=

f(1)

f(2)-1

=2；
n=3時，f（1）+f（2）=g（3）[f（3）-1]，得g（3）=3，猜測g（n）=n（n≥2）．
下面用數(shù)學歸納法證明：等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）•[f（n）-1]對于n≥2的一切自然數(shù)都成立．
①當n=2時，已證等式成立．
②假設當n=k時，f（1）+f（2）+…+f（k-1）=k[f（k）-1]成立（k≥2），
那么n=k+1時，f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=k[f（k）-1]+f（k）=（k+1）f（k）-k．而f（k+1）=f（k）+

1

k+1

，
∴（k+1）f（k）-k=（k+1）[f（k+1）-

1

k+1

]-k=（k+1）f（k+1）-（k+1）=（k+1）[f（k+1）-1]，
∴當n=k+1時，等式成立．
∴由①、②知，對一切n≥2的自然數(shù)等式都成立，故存在函數(shù)g（n）=n（n≥2），使等式成立．

點評：本題考查數(shù)學歸納法，考查遞推關系的分析與應用，求得g（2）=2，g（3）=3，猜測g（n）=n（n≥2）是關鍵，考查運算、推理論證的能力，屬于中檔題．