Question

如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，EA⊥底面ABCD，F(xiàn)D∥EA，且FD=

1

2

EA=1．
（Ⅰ）求多面體EABCDF的體積；
（Ⅱ）求直線EB與平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）記線段BC的中點(diǎn)為K，在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)K作一條直線與平面ECF平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面所成的角

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接ED，多面體EABCDF的體積V=V_E-PCD+V_E-ABCD ，只有分別求解兩個(gè)棱錐的體積即可；
（Ⅱ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ECF的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線EB與平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）取線段CD的中點(diǎn)Q；連接KQ，直線KQ即為所求．

解答： 解：（Ⅰ）連接ED，
∵EA⊥底面ABCD，F(xiàn)D∥EA，
∴FD⊥底面ABCD，
∴FD⊥AD，F(xiàn)D∩AD=D，
∴AD⊥平面FDC，
V_E-PCD=

1

3

AD•S_△FDC=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

，
V_E-ABCD=

1

3

EA•S_{正方形ABCD}=

1

3

×2×2×2=

8

3

，
∴多面體EABCDF的體積V=V_E-PCD+V_E-ABCD =

2

3

+

8

3

=

10

3

；--------------（5分）
（Ⅱ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），F(xiàn)（0，2，1），
∴

EC

=（2，2，-2），

EB

=（2，0，-2），

EF

=（0，2，-1）------（7分）

設(shè)平面ECF的法向量為

n

=（x，y，z），得：

2x+2y-2z=0 2y-z=0

取y=1，得平面ECF的一個(gè)法向量為

n

=（1，1，2）------（9分）
設(shè)直線EB與平面ECF所成角為θ，
∴sinθ=|cos＜

n

，

EB

＞|=|

-2

4 3

|=

3

6

----（11分）
（Ⅲ）取線段CD的中點(diǎn)Q；連接KQ，直線KQ即為所求．---------------（12分）
如圖所示…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力．