Question

9．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若不等式|m+1|≥f（x）+3|x-2|有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞0，即|2x+1|-|x-2|＞0，由不等式|2x+1|＞|x-2|兩邊平方化簡(jiǎn)，即可求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若不等式|m+1|≥f（x）+3|x-2|有解，即|m+1|≥|2x+1|+|2x-4|有解．設(shè)g（x）=|2x+1|+|2x-4|，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為|m+1|≥g（x）_min，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）＞0，即|2x+1|-|x-2|＞0，
由不等式|2x+1|＞|x-2|兩邊平方化簡(jiǎn)得：（3x-1）（x+3）＞0
解得：x＜-3或$x＞\frac{1}{3}$，
所以不等式f（x）＞0的解集為$\left\{{x\left|{x＜-3\;或\;x＞\frac{1}{3}}\right.}\right\}$．…（5分）
（2）由條件知，不等式|m+1|≥f（x）+3|x-2|有解，即|m+1|≥|2x+1|+|2x-4|有解．
設(shè)g（x）=|2x+1|+|2x-4|，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為|m+1|≥g（x）_min，
而g（x）=|2x+1|+|2x-4|≥|2x+1-2x+4|=5，
由|m+1|≥5解得：m≤-6或m≥4，
所以a的取值范圍是（-∞，-6]∪[4，+∞）．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，函數(shù)能成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．