Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{6}$），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²+2ρsinθ=3．
（1）寫出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)P的極坐標(biāo)和曲線C的極坐標(biāo)方程，能求出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）求出曲線C的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-1+2sinθ}\end{array}\right.$，θ為參數(shù)和直線l的普通方程：$\sqrt{3}x+y-3=0$，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)能求出點(diǎn)M到直線l距離的最大值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{6}$），
∴x=2×$cos\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，y=2×$sin\frac{π}{6}$=1，
∴點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為P（$\sqrt{3}$，1）．
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²+2ρsinθ=3，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²+2y-3=0．
（2）由（1）知，C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-1+2sinθ}\end{array}\right.$，θ為參數(shù)，
∴PQ的中點(diǎn)M（$\frac{\sqrt{3}}{2}+cosθ$，sinθ），
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為普通方程，得：$\sqrt{3}x+y-3=0$，
∴M到直線l的距離：
d=$\frac{|\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}+cosθ）+sinθ-3||}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{2}|sinθ+\sqrt{3}cosθ|$=$\frac{1}{2}|2sin（θ+\frac{π}{3}）|$≤1．
∴點(diǎn)M到直線l距離的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，考查點(diǎn)到直線的距離的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)性質(zhì)的合理動(dòng)作．