Question

11．某個(gè)停車場(chǎng)有一排共12個(gè)車位，從入口開(kāi)始依次編號(hào)是1號(hào)停車位、2號(hào)停車位、…、12號(hào)停車位．早上來(lái)了8輛車，隨機(jī)地停在了其中8個(gè)車位．
（1）這時(shí)有一輛體型較大的工程車到達(dá)停車場(chǎng)，它需要占據(jù)兩個(gè)相鄰的車位，求工程車能停進(jìn)車位的概率；
（2）求沒(méi)有三輛車相鄰的概率；
（3）如果有4輛車離開(kāi)之后，又有一輛車開(kāi)進(jìn)來(lái)，停在離入口最近的空車位，記這個(gè)車位的編號(hào)是η，求η的期望．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件總數(shù)n=${C}_{12}^{8}$，工程車能停進(jìn)車位，要求有兩個(gè)空車位相鄰，求出包含的基本事件個(gè)數(shù)m₁=${C}_{12}^{8}-{C}_{9}^{4}$，由此能求出工程車能停進(jìn)車位的概率．
（2）“沒(méi)有3輛車相鄰”的可能性包括：①車車空車車空車車空車車，剩下一個(gè)車位可能與空車位相鄰也可能在最前面或在最后面，有5種排法；②先排好四個(gè)空車位，有${C}_{4}^{4}$種排法，空空空空，四個(gè)空位間有五個(gè)間隔，從中選兩個(gè)間隔各放一輛車，有${C}_{5}^{2}$種放法，另外三個(gè)間隔各放兩輛車，有1種放法，由分步計(jì)數(shù)原理得有${C}_{4}^{4}{×C}_{5}^{2}×1$=10種排法，由此能求出沒(méi)有三輛車相鄰的概率．
（3）由已知得η的可能取值為1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出η的期望．

解答 解：（1）某個(gè)停車場(chǎng)有一排共12個(gè)車位，8輛車隨機(jī)地停在了其中8個(gè)車位，
基本事件總數(shù)n=${C}_{12}^{8}$，
工程車能停進(jìn)車位，要求有兩個(gè)空車位相鄰，包含的基本事件個(gè)數(shù)：
m₁=${C}_{12}^{8}-{C}_{9}^{4}$，
∴工程車能停進(jìn)車位的概率：p₁=$\frac{{m}_{1}}{n}$=$\frac{{C}_{12}^{8}-{C}_{9}^{4}}{{C}_{12}^{8}}$=$\frac{41}{55}$．
（2）“沒(méi)有3輛車相鄰”的可能性包括：
①車車空車車空車車空車車，剩下一個(gè)車位可能與空車位相鄰也可能在最前面或在最后面，有5種排法，
②先排好四個(gè)空車位，有${C}_{4}^{4}$種排法，空空空空，四個(gè)空位間有五個(gè)間隔，
從中選兩個(gè)間隔各放一輛車，有${C}_{5}^{2}$種放法，另外三個(gè)間隔各放兩輛車，有1種放法，
由分步計(jì)數(shù)原理得有${C}_{4}^{4}{×C}_{5}^{2}×1$=10種排法，
∴沒(méi)有三輛車相鄰的概率${p}_{2}=\frac{5+10}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{1}{33}$．
（3）由已知得η的可能取值為1，2，3，4，5，
P（η=1）=$\frac{{C}_{11}^{4}}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{2}{3}$，
P（η=2）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{8}{33}$，
P（η=3）=$\frac{{C}_{9}^{2}}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{4}{55}$，
P（η=4）=$\frac{{C}_{8}^{1}}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{8}{495}$，
P（η=5）=$\frac{1}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{1}{495}$．
∴Eη=1×$\frac{2}{3}$+2×$\frac{8}{33}$+3×$\frac{4}{55}$+4×$\frac{8}{495}$+5×$\frac{1}{495}$=$\frac{13}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意分類討論思想、分步計(jì)數(shù)原理和排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．