Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，（a∈R，x＞0）
（1）若函數(shù)f（x）與x軸相切，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（x₀）=0，f′（x₀）=0，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過(guò)討論求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-ax，（a∈R，x＞0）
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，0），
則$\left\{{\begin{array}{l}{f'（{x_0}）=0}\\{f（{x_0}）=0}\end{array}}\right.$，故$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x_0}-a=0}\\{ln{x_0}-a{x_0}=0}\end{array}}\right.$，
解得$a=\frac{1}{e}$．┅┅4分
（2）$由f（x）=lnx-ax得f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{-ax+1}{x}$，
∵x＞0，a＞0，
$令f'（x）＞0得0＜x＜\frac{1}{a}$；$令f'（x）＜0得x＞\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減；
①當(dāng)$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．
②當(dāng)$\frac{1}{a}$≥2，即$0＜a≤\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．┅┅7分
③當(dāng)1＜$\frac{1}{a}$＜2，即$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，$\frac{1}{a}$]上是增函數(shù)，在[$\frac{1}{a}$，2]是減函數(shù)．
又f（2）-f（1）=ln2-a，┅┅9分
∴當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜ln2時(shí)，最小值是f（1）=-a；
當(dāng)ln2≤a＜1時(shí)，最小值為f（2）=ln2-2a．
綜上可知，當(dāng)0＜a＜ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
當(dāng)a≥ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．