Question

4．已知長方體AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，點E為棱BB₁上的點．
（Ⅰ）求證：AC⊥BD₁；
（Ⅱ）求證：平面D₁DB⊥平面ACE；
（Ⅲ）BE=$\frac{1}{4}$BB₁，求平面ACE與平面ACD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AC⊥BD，AC⊥DD₁，從而AC⊥平面D₁DB，由此能證明AC⊥BD₁．
（Ⅱ）由AC⊥平面D₁DB，能證明平面D₁DB⊥平面ACE．
（Ⅲ）設AC∩BD=O，則EO⊥AC，D₁O⊥AC，從而∠EOD₁為所求二面角的平面角，由此能求出平面ACE與平面ACD₁所成角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵長方體AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，點E為棱BB₁上的點
∴底面為正方形，∴AC⊥BD，又AC⊥DD₁，BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面D₁DB，又BD₁?平面D₁DB，
∴AC⊥BD₁．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AC⊥平面D₁DB，
AC?平面ACE，
∴平面D₁DB⊥平面ACE．（7分）
解：（Ⅲ）∵△D₁AD≌△D₁CD，△EAB≌△ECB，
∴${D_1}A={D_1}C=\sqrt{5}$，$EA=EC=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
設AC∩BD=O，則EO⊥AC，D₁O⊥AC，
∴∠EOD₁為所求二面角的平面角．（9分）
在△D₁OE中，${D_1}O=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，$EO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，${D_1}E=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$，
$cos∠EO{D_1}=\frac{{{D_1}{O^2}+E{O^2}-{D_1}{E^2}}}{{2{D_1}O•EO}}=\frac{{\sqrt{6}}}{9}$．
∴平面ACE與平面ACD₁所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{9}$．（13分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查面面垂直的證明，考查面面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．