Question

4．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-2y-2≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$，若對于滿足約束條件的所有x，y，總有不等式y(tǒng)≤k（x+3）成立，則實數(shù)k的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． -2
• D． 0

Answer 1

分析 由題意作平面區(qū)域，從而化不等式為k≥$\frac{y}{x+3}$，而$\frac{y}{x+3}$的幾何意義是點A（-3，0）與點（x，y）的連線的斜率，從而結(jié)合圖象解得．

解答 解：由題意作平面區(qū)域如下，
，
結(jié)合圖象可知，x≥-2，故x+3≥1，
故y≤k（x+3）可化為k≥$\frac{y}{x+3}$，
$\frac{y}{x+3}$的幾何意義是點A（-3，0）與點（x，y）的連線的斜率，
故當(dāng)過點B（-2，-2）時，$\frac{y}{x+3}$有最小值$\frac{-2}{-2+3}$=-2，
當(dāng)過點（0，2）時，$\frac{y}{x+3}$有最大值$\frac{2-0}{0+3}$=$\frac{2}{3}$，
∵對于滿足約束條件的所有x，y，總有不等式y(tǒng)≤k（x+3）成立，
∴實數(shù)k的最小值為$\frac{2}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及線性規(guī)劃的應(yīng)用，同時考查了恒成立問題．