Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+2cos²$\frac{x}{2}$，
（1）求函數(shù)f（x）的周期；
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，進(jìn)而根據(jù)周期公式求得答案．
（2）根據(jù)x的范圍確定x+$\frac{π}{3}$的范圍，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx+1+cosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{3}{2}$cosx+1=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴T=$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴當(dāng)x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)有最大值$\sqrt{3}$+1，
當(dāng)x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)有最小值$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，
∴函數(shù)分f（x）的值域?yàn)閇$\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，$\sqrt{3}$+1]．

點(diǎn)評 本題主要考查了兩角和公式和二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識的掌握程度．