Question

1．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=2$\sqrt{3}$，cos2A-3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求△ABC外接圓的面積；
（Ⅱ）求bc的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)二倍角公式對原式化簡求得cosA的值，進而求得A，最后利用正弦定理求得R．
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理確定b，c的關系式進而根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，確定bc的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知條件得cos2A+3cosA=1，
2cos²A+3cosA-2=0，求得cosA=$\frac{1}{2}$或-2（舍去），
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理知2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=4，
∴R=2，
外接圓的面積S=πR²=4π．
（Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
∵A=$\frac{π}{3}$，a=2$\sqrt{3}$，
∴12=b²+c²-bc，
∵b²+c²≥2bc，
∴bc≤12，
當且僅當b=c=2$\sqrt{3}$時，bc取得最大值12．

點評 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運用．解三角形問題常常伴有不等式，函數(shù)等知識的考查，綜合性強．