2．已知f（x）=ax2+bx+c，f（x）=x無(wú)實(shí)數(shù)根，則判斷f[f（x）]是否有實(shí)根，說(shuō)明理由．

分析 由題意化簡(jiǎn)f（f（x））-x=[f（x）-x][af（x）+ax+b+1]，從而化為解方程a2x2+（ab+a）x+ac+b+1=0；再由判別式判斷即可．

解答 解：f（f（x））=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根，證明如下，
f（f（x））-x=af2（x）+bf（x）+c-x
=af2（x）-axf（x）+axf（x）-ax2+bf（x）-bx+ax2+bx+c-x
=af（x）[f（x）-x）]+ax[f（x）-x]+b[f（x）-x]+f（x）-x
=[f（x）-x][af（x）+ax+b+1]=0，
∵f（x）=x沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴△=（b-1）2-4ac＜0，
且af（x）+ax+b+1=0；
即a（ax2+bx+c）+ax+b+1=0
a2x2+（ab+a）x+ac+b+1=0
△=（ab+a）2-4a2（ac+b+1）=a2[（b-1）2-4ac-4]＜-4a2＜0，
∴f[f（x）]=x一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了復(fù)合函數(shù)的化簡(jiǎn)與因式分解的應(yīng)用，化簡(jiǎn)比較困難，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤1}\\{-x+3，x＞1}\end{array}\right.$，那么f（f（$\frac{5}{2}$））=（　　）
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{3}{2}$C．$\frac{5}{2}$D．$\frac{7}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

13．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+2cos2$\frac{x}{2}$，
（1）求函數(shù)f（x）的周期；
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

10．函數(shù)y=tan（2x+$\frac{π}{3}$）的遞增區(qū)間是（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{5π}{12}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$ ），k∈z．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

17．已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R
（1）若方程f（x）=mx2（m＞0）在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求m的取值范圍；
（2）設(shè)a＜b，比較$\frac{f（a）+f（b）}{2}$與$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$的大小，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

1．不等式$lo{g_{\frac{1}{5}}}（{x^2}-2x-3）＞{x^2}$-2x-9的解集為（-2，-1）∪（3，4）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

8．對(duì)于橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），c為橢圓半焦距，e為橢圓離心率，過(guò)原點(diǎn)O的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是橢圓C的頂點(diǎn)），點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，證明：
（1）當(dāng)e≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，設(shè)直線BD、AM的斜率分別為k1、k2，則k1=（1-2e2）k2，當(dāng)e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，則直線AM與x軸垂直；
（2）△OMN面積的最大值為$\frac{{c}^{4}}{4ab}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

5．圓錐底面半徑為3，母線長(zhǎng)為12，B是母線PA的中點(diǎn)，則點(diǎn)A繞圓錐一周到達(dá)點(diǎn)B的最短距離為$6\sqrt{5}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

6．下列有四個(gè)命題：
①終邊在y軸上的角的集合是$\{α|α=\frac{kπ}{2}，k∈z\}$；
②存在實(shí)數(shù)x，使得2sinx=3；
③函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是π；
④點(diǎn)$（\frac{π}{2}，0）$是y=tanx的對(duì)稱中心．
其中所有正確命題的序號(hào)是③④．

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