Question

2．已知f（x）=ax²+bx+c，f（x）=x無實數根，則判斷f[f（x）]是否有實根，說明理由．

Answer 1

分析 由題意化簡f（f（x））-x=[f（x）-x][af（x）+ax+b+1]，從而化為解方程a²x²+（ab+a）x+ac+b+1=0；再由判別式判斷即可．

解答 解：f（f（x））=x沒有實數根，證明如下，
f（f（x））-x=af²（x）+bf（x）+c-x
=af²（x）-axf（x）+axf（x）-ax²+bf（x）-bx+ax²+bx+c-x
=af（x）[f（x）-x）]+ax[f（x）-x]+b[f（x）-x]+f（x）-x
=[f（x）-x][af（x）+ax+b+1]=0，
∵f（x）=x沒有實數根，
∴△=（b-1）²-4ac＜0，
且af（x）+ax+b+1=0；
即a（ax²+bx+c）+ax+b+1=0
a²x²+（ab+a）x+ac+b+1=0
△=（ab+a）²-4a²（ac+b+1）=a²[（b-1）²-4ac-4]＜-4a²＜0，
∴f[f（x）]=x一定沒有實數根．

點評 本題考查了方程的根與復合函數的應用，同時考查了復合函數的化簡與因式分解的應用，化簡比較困難，屬于中檔題．