Question

15．利用不等式性質“若a-b＞0，則a＞b”，可以用來比較兩個數(shù)或兩個式子的大小
（1）設a≥0，b≥0，試探索$\frac{a+b}{2}$與$\sqrt{ab}$的大小關系并結合上述性質加以證明；
（2）若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂=1，求證：1≤$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，作差并配方即可證明，
（2）由基本不等式可得到2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤x₁+x₂=1，同時加上1即可得到1≤x₁+x₂+2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤2，配方即可證明．

解答 解：（1）∵a≥0，b≥0，
∴$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$=$\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}$=$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt）^{2}}{2}$≥0，當且僅當a=b時取等號，
∴$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，
（2）由基本不等式知0≤2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤x₁+x₂=1，
于是有1≤x₁+x₂+2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤2，
即1≤（$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$）²≤2，
∴1≤$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$≤$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了作差法比較大小以及基本不等式的應用，屬于基礎題．