分析 (1)根據(jù)集合A只有一個(gè)元素1,說(shuō)明方程f(x)=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系把b和c用a表示,再利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f(x)的最值,則g(a)=M+m可求.
(2)根據(jù)A={1,2},故1,2是方程ax2+(b-1)x+c=0的兩實(shí)根,求出a,b,c的關(guān)系,求函數(shù)h(x)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
解答 解:(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=ax2+bx+c,
∵A={x|f′(x)=x}.
∴方程ax2+(b-1)x+c=0有兩相等實(shí)根x1=x2=1,
根據(jù)韋達(dá)定理得到:$\left\{\begin{array}{l}{2=-\frac{b-1}{a}}\\{1=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$,得:a=c,b=-2a+1.
∴f′(x)=ax2+bx+c=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2]
其對(duì)稱軸方程為x=-$\frac{1-2a}{2a}$,即$x=1-\frac{1}{2a}$
又a≥1,故$\frac{1}{2}≤1-\frac{1}{2a}<1$
∴$M=f(-2)=9a-2,\;\;\;m=\frac{4a-1}{4a}$
則g(a)=M+m=$9a-\frac{1}{4a}-1$,
則函數(shù)g(a)在a≥1上為增函數(shù),
∴g(a)的最小值為g(1)=9-$\frac{1}{4}$-1=$\frac{31}{4}$.
(2)又A={1,2},故1,2是方程ax2+(b-1)x+c=0的兩實(shí)根.
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2=-\frac{b-1}{a}=3}\\{1×2=\frac{c}{a}=2}\end{array}\right.$,解得c=2a,b=1-3a.
h(x)=f(x)-f′(x)=$\frac{a{x}^{3}}{3}$+$\frac{b{x}^{2}}{2}$+cx-ax2-bx-c
=$\frac{a{x}^{3}}{3}$+$\frac{1-3a}{2}$x2+2ax-ax2-(1-3a)x-2a
=$\frac{a{x}^{3}}{3}$+$\frac{1-5a}{2}$x2+(5a-1)x-2a
則h′(x)=ax2+(1-5a)x+5a-1,
若h(x)=f(x)-f′(x)在R上不單調(diào),
則h′(x)=ax2+(1-5a)x+5a-1=0由兩個(gè)不同的實(shí)根,
即判別式△=(1-5a)2-4a(5a-1)>0,
即(5a-1)(a-1)>0,
即a>1或a<$\frac{1}{5}$.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
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組數(shù) | 分組 | 亞健康族的人數(shù) | 占本組的頻率 |
第一組 | [10,20) | 100 | 0.5 |
第二組 | [20,30) | 195 | P |
第三組 | [30,40) | 120 | 0.6 |
第四組 | [40,50) | a | 0.4 |
第五組 | [50,60) | 30 | 0.3 |
第六組 | [60,70] | 15 | 0.3 |
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A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
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