Question

6．若函數(shù)f（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}^{2}x+lo{g}_{2}\frac{1}{{x}^{2}}{+x}^{2}-4x+5}$，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2]．

Answer 1

分析 利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知x＞0，
則由log₂²x+log₂$\frac{1}{{x}^{2}}$+x²-4x+5≥0
得log₂²x-2log₂x+x²-4x+5≥0
即（log₂x-1）²+（x-2）²≥0恒成立，
令t=（log₂x-1）²+（x-2）²，
要求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，
即求函數(shù)t=（log₂x-1）²+（x-2）²，的遞減區(qū)間，
則當(dāng)0＜x≤2時(shí)，函數(shù)y═（log₂x-1）²為減函數(shù)，y=（x-2）²，為減函數(shù)，
則函數(shù)t=（log₂x-1）²+（x-2）²為減函數(shù)，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2]
故答案為：（0，2]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．