Question

【題目】如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠BCD＝60°，點E是BC邊

的中點，AC，DE交于點O，，且PO⊥平面ABCD.

（1）求證：PD⊥BC；

（2）在線段AP上找一點F，使得BF∥平面PDE，并求此時四面體PDEF的體積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2) VP-BDE=1.

【解析】

(1)先證明BC⊥平面PDE，即證PD⊥BC.（2）取AP中點為F，再取PD中點為G，連結(jié)FG，再證明FG⊥平面PDE，最后求四面體PDEF的體積．

（1）由題可得△BCD為正三角形，E為BC中點，故DE⊥BC.

又PO⊥平面ABCD，BC平面ABCD，則PO⊥BC，

而DE∩PO＝O，平面，

所以BC⊥平面PDE.

又PD平面PDE，故PD⊥BC.

（2）取AP中點為F，再取PD中點為G，連結(jié)FG.

則FG為△PAD中位線，故FG AD，

又BE AD，所以FGBE，于是四邊形BFGE為平行四邊形，

因此BF∥EG.又BF平面PDE，EG平面PDE,

所以BF∥平面PDE.

由（1）知，BC⊥平面PDE.則有BC⊥PE，BC⊥DE，

而BC∥FG，故FG⊥PE，FG⊥DE，且DE∩PE＝E，

所以FG⊥平面PDE.

于是四面體PDEF的體積為V=S△PDE·FG＝××2××1＝1.