Question

已知函數(shù)：f（x）=3x²-2mx-1，g（x）=|x|-

7

4

．
（1）解不等式f（x）≥-2；
（2）若對(duì)任意的x∈（-1，2），f（x）≥g（x），求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）不等式f（x）≥-2，可化為3x²-2mx+1≥0，分判別式當(dāng)△≤0時(shí)、②當(dāng)△＞0時(shí)兩種情況，分別求得不等式的解集．
（2）因?yàn)?3x²-2mx-1≥|x|-

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4

對(duì)任意的x∈（-1，2）恒成立，分①當(dāng)0＜x＜2時(shí)、②當(dāng)-1＜x＜0時(shí)、③當(dāng)x=0時(shí)三種情況，分別求得m的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答：解：（1）不等式f（x）≥-2，可化為3x²-2mx+1≥0，△=4（m²-3），
①當(dāng)△≤0時(shí)，即-

3

≤m≤

3

時(shí)，不等式的解為R；
②當(dāng)△＞0時(shí)，即m＜-

3

或m＞-

3

時(shí)，求得x1=

m- m2-3

3

，x2=

m+ m2-3

3

，
不等式的解為{x|x＜

m- m2-3

3

，或x＞

m+ m2-3

3

}．
（2）因?yàn)?3x²-2mx-1≥|x|-

7

4

 對(duì)任意的x∈（-1，2）恒成立，
①當(dāng)0＜x＜2時(shí)，不等式即 3x²-（2m+1）x+

3

4

≥0，即 3x+

3

4x

≥2m+1 在（0，2）上恒成立．
因?yàn)?3x+

3

4x

≥3，當(dāng)x=

1

2

時(shí)等號(hào)成立．所以3≥2m+1，即 m≤1．
②當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，不等式即 3|x|²+（2m-1）|x|+

3

4

≥0，即 3|x|+

3

4|x|

≥-2m+1 在（-1，0）上恒成立，
因?yàn)?3|x|+

3

4|x|

≥3，當(dāng)x=-

1

2

時(shí)等號(hào)成立，所以3≥1-2m，即m≥-1．
③當(dāng)x=0時(shí)，m∈R．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．