Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-$\frac{2}{3}$，x=1處都取得極值
（1）求a，b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若對(duì)x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3x²+2ax+b，由題意可得：${f}^{′}（-\frac{2}{3}）$=f′（1）=0，聯(lián)立解得a，b．可得f（x），令f′（x）≤0，解出即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由（1）可得：f（x）=）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，對(duì)x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立?$（{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x）_{max}$＜c²-c，令g（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x，x∈[-1，2]，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵${f}^{′}（-\frac{2}{3}）$=f′（1）=0，
∴$3×（-\frac{2}{3}）^{2}$+2a×$（-\frac{2}{3}）$+b=0，3+2a+b=0，
聯(lián)立解得a=$-\frac{1}{2}$，b=-2．
f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
令f′（x）=（3x+2）（x-1）≤0，
解得$-\frac{2}{3}≤x≤1$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[-\frac{2}{3}，1]$．
（2）由（1）可得：f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，
對(duì)x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立?$（{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x）_{max}$＜c²-c，
令g（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x，x∈[-1，2]，
∴g′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
由（1）可得：函數(shù)g（x）在$[-1，-\frac{2}{3}]$，[1，2]上單調(diào)遞增，在區(qū)間$[-\frac{2}{3}，1]$上單調(diào)遞減．
而$g（-\frac{2}{3}）$=$\frac{22}{27}$，g（2）=2．∴g（x）_max=2．
∴c²-c＞2，即c²-c-2＞0，
解得c＞2，或c＜-1．
∴c的取值范圍（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、方程與不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．