Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線x+y+1=0與以橢圓C的右焦點為圓心，以

2

b為半徑的圓相切．
（1）求橢圓的方程．
（2）若過橢圓C的右焦點F作直線L交橢圓C于A，B兩點，交y軸于M點，且

MA

=λ1

AF，

MB

=λ2

BF

，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意：以橢圓C的右焦點為圓心，以

2

b為半徑的圓的方程為（x-c）²+y²=2b²，圓心到直線x+y+1=0的距離d=

|c+1|

2

=

2

b，由此結(jié)合已知條件能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線L方程為y=k（x-1），代入橢圓方程得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能證明λ₁+λ₂=-4（定值）．

解答： 解：（Ⅰ）由題意：以橢圓C的右焦點為圓心，以

2

b為半徑的圓的方程為（x-c）²+y²=2b²，
∴圓心到直線x+y+1=0的距離d=

|c+1|

2

=

2

b…*
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，
b=c，代入*式得b=1
∴a=

2

b=

2

，
故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由題意：直線L的斜率存在，
∴設(shè)直線L方程為y=k（x-1），
則M（0，-k），F(xiàn)（1，0）
將直線方程代入橢圓方程得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

…①…（8分）
由

MA

=λ1

AF，

MB

=λ2

BF

，∴x1 =λ1(1-x1)，x2 =λ2(1-x2)，
即：，λ1=

x1

1-x1

λ2=

x2

1-x2

…（10分）
λ1+λ2=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=

x1+x2-2x1x2

1-x1-x2+2x1x2

=

4 1+2k2

-1 1+2k2

=-4
∴λ₁+λ₂=-4（定值）…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩數(shù)和為定值的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．