Question

1．已知命題p：方程$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，命題q：對(duì)任意實(shí)數(shù)x不等式x²+2mx+2m+3＞0恒成立．
（Ⅰ）若“￢q”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出命題q的等價(jià)條件，根據(jù)“￢q”是真命題，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p，q只有一個(gè)為真命題，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x不等式x²+2mx+2m+3＞0恒成立，
所以△=4m²-4（2m+3）＜0，解得-1＜m＜3，．…（2分）
又“￢qq”是真命題等價(jià)于“q”是假命題，．…（3分）
所以所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）∵方程$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
∴0＜m＜2，…（6分）
∵“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，
∴p，q為一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題，…（7分）
$當(dāng)p真q假時(shí)，\left\{\begin{array}{l}0＜m＜2\\ m≤-1或m≥3\end{array}\right.$，無解…（9分），
$當(dāng)p假q真時(shí)，\left\{\begin{array}{l}m≤0，或m≥2\\-1＜m＜3\end{array}\right.，則-1＜m≤0，或2≤m＜3$，…（11分）
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-1，0]∪[2，3）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題的真假應(yīng)用，求出命題的等價(jià)條件結(jié)合復(fù)合命題真假之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．