Question

8．在公差不為零的等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中．已知a₁=b₁=1．a(chǎn)₂=b₂．a(chǎn)₆=b₃
（1）求等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n和等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知條件結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組，求出等差數(shù)列{a_n}的公差和等比數(shù)列{b_n}的公比，由此能求出等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由a_n•b_n=（3n-2）•4^n-1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）∵公差不為零的等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中．a(chǎn)₁=b₁=1，a₂=b₂，a₆=b₃，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+d=q}\\{1+5d={q}^{2}}\end{array}\right.$，且d≠0，
解得d=3，q=4，
∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2，
b_n=q^n-1=4^n-1．
（2）由（1）得a_n•b_n=（3n-2）•4^n-1，
∴S_n=1•4⁰+4×4+7×4²+…+（3n-2）•4^n-1，①
4S_n=4+4×4²+7×4³+…+（3n-2）•4ⁿ，②
①-②，得：-3S_n=1+3（4+4²+4³+…+4^n-1）-（3n-2）•4ⁿ
=1+3×$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$-（3n-2）•4ⁿ
=-3-（3n-3）•4ⁿ．
∴S_n=1+（n-1）•4ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．