Question

13．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，以D為原點，以正方體的三條棱DA，DC，DD₁所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，若點P在正方體的側面BCC₁B₁及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD₁，則下列點P的坐標①（1，1，1），②（0，1，0），③（1，1，0），④（0，1，1），⑤（$\frac{1}{2}$，1，$\frac{1}{2}$）中正確的是①②⑤．

Answer 1

分析 根據(jù)空間坐標系，表示出點的坐標，設P（m，1，n），且（0≤m，n≤1），根據(jù)向量垂直得到m=n，即可判斷答案．

解答 解：由題意可知，A（1，0，0），B（1，1，0），D₁（0，0，1），
設P（m，1，n），且（0≤m，n≤1）
∴$\overrightarrow{AP}$=（m-1，1，n），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），
∵AP⊥BD₁，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=1-m-1+n=n-m=0，
即m=n，
∴①（1，1，1），②（0，1，0），⑤（$\frac{1}{2}$，1，$\frac{1}{2}$）滿足條件，
故答案為：①②⑤．

點評 本題考查了空間向量的坐標運算和向量垂直的條件，屬于基礎題．