Question

4．已知命題“?a＞b＞c，$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{t}{a-c}$”是真命題，記t的最大值為m，命題“?n∈R，$|{n+sinγ}|-|{n-cosγ}|＜{m^{\frac{1}{4}}}$”是假命題，其中$γ∈（0，\frac{π}{2}）$．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問題轉(zhuǎn)化為$t≤{[（a-c）•（\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}）]_{min}}$，利用基本不等式的性質(zhì)求出即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為?n∈R，$|{n+sinγ}|-|{n-cosγ}|≥\sqrt{2}$”是真命題，根據(jù)三角函數(shù)以及絕對值的意義求出n的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）因為“?a＞b＞c，$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{t}{a-c}$”是真命題，
所以?a＞b＞c，$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{t}{a-c}$恒成立，
又a＞b＞c，所以$t≤（a-c）•（\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}）$恒成立，
所以，$t≤{[（a-c）•（\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}）]_{min}}$．…（3分）
又因為$（a-c）•（\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}）=（a-b+b-c）•（\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}）$=$2+\frac{b-c}{a-b}+\frac{a-b}{b-c}≥4$，
“=”成立當且僅當b-c=a-b時．
因此，t≤4，于是m=4．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因為“?n∈R，$|{n+sinγ}|-|{n-cosγ}|＜{m^{\frac{1}{4}}}$”是假命題，
所以“?n∈R，$|{n+sinγ}|-|{n-cosγ}|≥\sqrt{2}$”是真命題．…（7分）
因為|n+sinγ|-|n-cosγ|=|n+sinγ|-|cosγ-n|≤|sinγ+cosγ|$≤\sqrt{2}$（$γ∈（0，\frac{π}{2}）$），
因此，$|{n+sinγ}|-|{n-cosγ}|=\sqrt{2}$，此時$|{sinγ+cosγ}|=\sqrt{2}$，即$γ=\frac{π}{4}$時．…（8分）
∴$|{n+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}|-|{n-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}|=\sqrt{2}$，
由絕對值的意義可知，$n≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（10分）

點評 本題考察了基本不等式的性質(zhì)，考察三角函數(shù)問題以及絕對值的意義，考察轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．