Question

3．已知函數(shù)f（x）=|log₃（x-1）|-（$\frac{1}{3}$）^x有兩個零點x₁，x₂，則（　�。�

• A． x₁x₂＜1
• B． x₁x₂＞x₁+x₂
• C． x₁x₂＜x₁+x₂
• D． x₁x₂=x₁+x₂

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系由f（x）=0轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合以及對數(shù)和指數(shù)函數(shù)的運算法則和性質(zhì)進行求解判斷即可．

解答 解：∵f（x）=|log₃（x-1）|-（$\frac{1}{3}$）^x有兩個零點x₁，x₂，
∴由f（x）=|log₃（x-1）|-（$\frac{1}{3}$）^x=0得|log₃（x-1）|=（$\frac{1}{3}$）^x，
設(shè)y=|log₃（x-1）|與y=（$\frac{1}{3}$）^x，
即y=|log₃（x-1）|與y=（$\frac{1}{3}$）^x有兩個交點．
由題意x＞0，分別畫y=（$\frac{1}{3}$）^x和y=|log₃（x-1）|的圖象，
則在（1，2）和（2，+∞）有兩個交點．
設(shè) x₁∈（1，2），x₂∈（（2，+∞），
那么 在（1，2）上有 3^-x₁=-log₃（x₁-1），
即-3^-x₁=log₃（x₁-1）…①
在（2，+∞）上有3^-x₂=log₃（x₂-1）．…②
①②相加有 3^-x₂-3^-x₁=log₃（x₁-1）（x₂-1），
∵x₂＞x₁，∴3^-x₂＜3^-x₁，即 3^-x₂-3^-x₁＜0，
∴l(xiāng)og₃（x₁-1）（x₂-1）＜0，
∴0＜（x₁-1）（x₂-1）＜1，
∴x₁x₂＜x₁+x₂，
故選：C

點評 本題主要考查確定函數(shù)零點所在區(qū)間的方法--轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題．函數(shù)的零點等價于函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，等價于對應(yīng)方程的根，屬于中檔題．