Question

8．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2bcosC+c=2a．
（1）求角B的大�。�
（2）若BD為AC邊上的中線，cosA=$\frac{1}{7}$，BD=$\frac{\sqrt{129}}{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知表達(dá)式，求出B的值即可．
（2）先根據(jù)兩角和差的正弦公式求出sinC，再根據(jù)正弦定理得到b，c的關(guān)系，再利用余弦定理可求b，c的值，再由三角形面積公式可求結(jié)果；

解答 解：（1）∵2bcosC+c=2a．
由正弦定理可知：2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC，
∴sinC=2cosBsinC，
∴cosB=$\frac{1}{2}$
∵B為三角形內(nèi)角，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（2）在△ABC值，cosA=$\frac{1}{7}$，
∴sinA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴$\frac{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{7}{5}$，
設(shè)b=7x，c=5x，
∵BD為AC邊上的中線，BD=$\frac{\sqrt{129}}{2}$，
由余弦定理，得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA，
∴$\frac{129}{4}$=25x²+$\frac{1}{4}$×49x²-2×5x×$\frac{1}{2}$×7x×$\frac{1}{7}$
解得x=1，
∴b=7，c=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$7×5×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=10$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式，熟記相關(guān)公式并靈活運用是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．