Question

14．已知命題p：f（x）=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$+k（x∈R，k＞0），3≤f（x）≤6恒成立，命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{4-k}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦點在x軸上的雙曲線，若p∧q為真命題，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題p：x∈R，可得-1≤sinx≤1，k≤f（x）≤k+1，由于3≤f（x）≤6恒成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{k≥3}\\{k+1≤6}\end{array}\right.$，解得k范圍．命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{4-k}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦點在x軸上的雙曲線，可得$\left\{\begin{array}{l}{4-k＞0}\\{k＞0}\end{array}\right.$，解得k范圍．由于p∧q為真命題，可得p與q都為真命題，即可得出．

解答 解：命題p：∵?x∈R，∴-1≤sinx≤1，∴$-\frac{1}{2}$$≤\frac{1}{2}$sinx≤$\frac{1}{2}$，∴k≤f（x）≤k+1，
∵3≤f（x）≤6恒成立，∴$\left\{\begin{array}{l}{k≥3}\\{k+1≤6}\end{array}\right.$，解得3≤k≤5．
命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{4-k}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦點在x軸上的雙曲線，∴$\left\{\begin{array}{l}{4-k＞0}\\{k＞0}\end{array}\right.$，解得0＜k＜1．
∵p∧q為真命題，∴p與q都為真命題，則$\left\{\begin{array}{l}{3≤k≤5}\\{0＜k＜4}\end{array}\right.$，解得3≤k＜4．
∴實數(shù)k的取值范圍為[3，4）．

點評 本題考查了三角函數(shù)求值、函數(shù)的性質(zhì)、復合命題之間的判定方法、雙曲線的標準方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．