Question

9．已知動圓過定點（0，1），且直線y=-1相切．
（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）過軌跡C上一點M（2，n）作傾斜角互補的兩條M線，分別與C交于異于M的A，B兩點，求證：直線AB的斜率為定值：
（3）如果A，B兩點的橫坐標均不大于0，求△MAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知，動圓過定點P（0，1），且與定直線y=-1相切，可得圓心到定點P（0，1），及定直線y=-1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可得動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）由題意，M（2，1）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由K_AM=-k_BM可得x₁+x₂=-4，即可證明直線AB的斜率為定值；
（3）求出點M到AB的距離，|AB|，可得面積，即可求△MAB面積的最大值．

解答 （1）解：∵動圓過定點P（0，1），且與定直線y=-1相切
故圓心到點P（0，1）的距離等于半徑，
且圓心到直線y=-1的距離等于半徑，
即圓心到定點P（0，1），及定直線y=-1的距離相等
圓心軌跡M是以P（0，1）為焦點，直線y=-1為準線的拋物線，
故它的方程是x²=4y；
（2）證明：由題意，M（2，1）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由K_AM=-k_BM可得$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$=-$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$，即$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4}{4（{x}_{1}-2）}$=-$\frac{{{x}_{2}}^{2}-4}{4（{x}_{2}-2）}$，
即x₁+x₂=-4，
∴K_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）=-1；
（3）解：AB的方程為：y-y₁=-（x-x₁），即x+y+x₁-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=0，
點M到AB的距離d=$\frac{|3+{x}_{1}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}|}{\sqrt{2}}$，
|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$|2x₁+4|，
設(shè)2x₁+4=t（t≤4），則△MAB面積S=$\frac{1}{2}$•|t|•$\frac{{t}^{2}}{16}$≤2，
∴△MAB面積的最大值為2．

點評 本題主要考查了拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，要求考試具備一定的計算與推理的能力，試題具有一定的綜合性．