Question

14．已知圓C：x²+y²=4，直線l：x+$\sqrt{2}$y-4=0，點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)Q在圓C上，則∠OPQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，在△OPQ中，由正弦定理可得$sin∠OPQ=OQ•\frac{sin∠OQP}{OP}=2•\frac{sin∠OQP}{OP}$，知當(dāng)∠OQP=90°，且OP最小時，sin∠OPQ有最大值，由點(diǎn)到直線的距離公式求出OP的最小值，則答案可求．

解答 解：如圖，

連接OP、OQ、PQ，
在△OPQ中，由正弦定理得：$\frac{OQ}{sin∠OPQ}=\frac{OP}{sin∠OQP}$，
∴$sin∠OPQ=OQ•\frac{sin∠OQP}{OP}=2•\frac{sin∠OQP}{OP}$，
∴當(dāng)∠OQP=90°，且OP最小時，sin∠OPQ有最大值，
此時$O{P}_{min}=\frac{|-4|}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$，∴$（sin∠OPQ）_{max}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，則∠OPQ的最大值為$\frac{π}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了正弦定理的應(yīng)用，是中檔題．