Question

12．在平面直角坐標系中，當P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為P′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）；當P是原點時，定義P的“伴隨點“為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”．現(xiàn)有下列命題：
①若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A；
②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；
③若曲線C關于x軸對稱，則其“伴隨曲線”C′關于y軸對稱；
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線．
其中的真命題是②③（寫出所有真命題的序列）．

Answer 1

分析 利用新定義，對4個命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①若點A（x，y）的“伴隨點”是點A′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），則點A′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）的“伴隨點”是點（-x，-y），故不正確；
②由①可知，單位圓的“伴隨曲線”是它自身，故正確；
③若曲線C關于x軸對稱，點A（x，y）關于x軸的對稱點為（x，-y），“伴隨點”是點A′（-$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），則其“伴隨曲線”C′關于y軸對稱，故正確；
④設直線方程為y=kx+b（b≠0），點A（x，y）的“伴隨點”是點A′（m，n），則
∵點A（x，y）的“伴隨點”是點A′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），∴$\frac{n}{m}=\frac{-x}{y}$，∴x=-$\frac{bn}{kn+m}$，y=$\frac{bm}{kn+m}$
∵m=$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，∴代入整理可得${m}^{2}+{n}^{2}-\frac{k}$n-1=0表示圓，故不正確．
故答案為：②③．

點評 此題考查點的坐標規(guī)律，讀懂題目信息，理解“伴隨點”的定義是解題的關鍵．