Question

5．國內(nèi)某知名大學(xué)有男生14000人，女生10000人．該校體育學(xué)院想了解本校學(xué)生的運(yùn)動狀況，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取120人，統(tǒng)計(jì)他們平均每天運(yùn)動的時(shí)間，如表：（平均每天運(yùn)動的時(shí)間單位：小時(shí)，該校學(xué)生平均每天運(yùn)動的時(shí)間范圍是[0，3]）
男生平均每天運(yùn)動的時(shí)間分布情況：

平均每天運(yùn)動的時(shí)間	[0，0.5）	[0.5，1）	[1，1.5）	[1.5，2）	[2，2.5）	[2.5，3]
人數(shù)	2	12	23	18	10	x

女生平均每天運(yùn)動的時(shí)間分布情況：

平均每天運(yùn)動的時(shí)間	[0，0.5）	[0.5，1）	[1，1.5）	[1.5，2）	[2，2.5）	[2.5，3]
人數(shù)	5	12	18	10	3	y

（Ⅰ）請根據(jù)樣本估算該校男生平均每天運(yùn)動的時(shí)間（結(jié)果精確到0.1）；
（Ⅱ）若規(guī)定平均每天運(yùn)動的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生為“運(yùn)動達(dá)人”，低于2小時(shí)的學(xué)生為“非運(yùn)動達(dá)人”．
①請根據(jù)樣本估算該�！斑\(yùn)動達(dá)人”的數(shù)量；
②請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“是否為‘運(yùn)動達(dá)人’與性別有關(guān)？”

	運(yùn)動達(dá)人	非運(yùn)動達(dá)人	總  計(jì)
男  生
女  生
總  計(jì)

參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d．
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）由分層抽樣求出男生抽取的人數(shù)，女生抽取人數(shù)，然后求解該校男生平均每天運(yùn)動的時(shí)間．
（Ⅱ）①樣本中“運(yùn)動達(dá)人”所占比例是$\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$，故估計(jì)該�！斑\(yùn)動達(dá)人”人數(shù)；②填寫表格，求解K²的觀測值，推出在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，‘運(yùn)動達(dá)人’與性別有關(guān)”的結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）由分層抽樣得：男生抽取的人數(shù)為$120×\frac{14000}{14000+10000}=70$人，女生抽取人數(shù)為120-70=50人，故x=5，y=2，（2分）
則該校男生平均每天運(yùn)動的時(shí)間為：$\frac{0.25×2+0.75×12+1.25×23+1.75×18+2.25×10+2.75×5}{70}≈1.5$，（5分）
故該校男生平均每天運(yùn)動的時(shí)間約為1.5小時(shí)；
（Ⅱ）①樣本中“運(yùn)動達(dá)人”所占比例是$\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$，故估計(jì)該�！斑\(yùn)動達(dá)人”有$\frac{1}{6}×（{14000+10000}）=4000$人；                                （8分）
②由表格可知：

	運(yùn)動達(dá)人	非運(yùn)動達(dá)人	總  計(jì)
男  生	15	55	70
女  生	5	45	50
總  計(jì)	20	100	120

（9分）
故K²的觀測值$k=\frac{{120{{（{15×45-5×55}）}^2}}}{20×100×50×70}=\frac{96}{35}≈2.743＜3.841$．（11分）
故在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下不能認(rèn)為“是否為‘運(yùn)動達(dá)人’與性別有關(guān)”．
（12分）

點(diǎn)評 本題考查分層抽樣，獨(dú)立檢驗(yàn)的思想方法，考查分析問題解決問題的能力．