Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上的最大值為4，最小值為1．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，若關(guān)于x的方程$g（|{{2^x}-1}|）+k（\frac{2}{{|{{2^x}-1}|}}-3）=0$在（-∞，0）∪（0，+∞）上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）的開口方向和對(duì)稱軸可知f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，根據(jù)最值列出方程組解出a，b；
（2）令|2^x-1|=t，得到關(guān)于t的二次函數(shù)h（t），結(jié)合t=|2^x-1|的函數(shù)圖象可判斷h（t）的零點(diǎn)分布情況，列出不等式組解出k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=a（x-1）²+1+b-a．∵a＞0，所以f（x）在[2，3]上為增函數(shù)，
故$\left\{\begin{array}{l}f（2）=1\\ f（3）=4\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}4a-4a+1+b=1\\ 9a-6a+1+b=4.\end{array}\right.$
解得a=1，b=0．
（Ⅱ）g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}-2$，∴g（|2^x-1|）=|2^x-1|+$\frac{1}{|{2}^{x}-1|}$-2．
∵$g（|{{2^x}-1}|）+k（\frac{2}{{|{{2^x}-1}|}}-3）=0$，∴$|{{2^x}-1}|+\frac{1+2k}{{|{{2^x}-1}|}}-（2+3k）=0$，
即|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0．   
令|2^x-1|=t，則方程可化為t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t＞0），
由方程$g（|{{2^x}-1}|）+k（\frac{2}{{|{{2^x}-1}|}}-3）=0$在（-∞，0）∪（0，+∞）上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
結(jié)合t=|2^x-1|的圖象（如右圖）可知，
方程t²-（2+3k）t+（1+2k）=0有兩個(gè)根t₁，t₂，且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1．
記h（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），則$\left\{\begin{array}{l}h（0）=1+2k＞0\\ h（1）=-k＜0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}h（0）=1+2k＞0\\ h（1）=-k=0\\ 0＜\frac{2+3k}{2}＜1.\end{array}\right.$．
解得k＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)零點(diǎn)分布與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．