Question

9．f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-4x．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）解不等式f（x+2）＜5．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求f（x）的表達(dá)式；
（2）利用對(duì)稱(chēng)性即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）若x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-4x，
∴當(dāng)-x＞0時(shí)，f（-x）=x²+4x，
∵f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，
∴f（-x）=x²+4x=f（x），
即當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+4x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x，x≥0}\\{{x}^{2}+4x，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，由f（x）=x²-4x=5，解得x=5或x=-1（舍去），則根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，當(dāng)x＜0時(shí)，f（-5）=5，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則不等式f（x+2）＜5等價(jià)為-5＜x+2＜5，
即-7＜x＜3，
則不等式的解集為（-7，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及不等式的解法，利用偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．