Question

5．已知f（x）為二次函數(shù)，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，畫出函數(shù)f（x）的圖象，并指出其值域．

Answer 1

分析 （1）利用待定席數(shù)法設(shè)出二次函數(shù)一般形式，求出f（x+1），f（x-1）利用二次多項(xiàng)式相等求出參數(shù)值；
（2）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)畫出圖象，利用圖象得出函數(shù)的值域．

解答 解：∵f（x）是二次函數(shù)，
∴可設(shè)f（x）=ax²+bx+c．（a≠0），
∴f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+2ax+1+bx+b+c．
f（x-1）=a（x-1）²+b（x-1）+c=ax²-2ax+1+bx-b+c．
∴f（x+1）+f（x-1）=2ax²+2+2bx+2c=2ax²+2bx+2c+2…①
又f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x…②
顯然，①、②恒等，
∴通過(guò)比較各項(xiàng)系數(shù)，得：a=1、b=-2、c=-1．
∴f（x）=x²-2x-1．
（2）x∈[0，3]時(shí)，畫出函數(shù)f（x）的圖象，如下：


由圖可知函數(shù)的值域?yàn)閇-2，2]．

點(diǎn)評(píng) 考查了待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，多項(xiàng)式相等和二次函數(shù)圖象的畫法，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．