Question

15．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，AA₁=2，E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)
（1）求證：C₁E⊥面A₁EB；
（2）求四棱錐A₁-EFB₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （1）證明C₁E⊥A₁E，CE⊥BE，即可證明C₁E⊥面A₁EB；
（2）四棱錐A₁-EFB₁C₁的體積=三棱錐A₁-EFC₁+三棱錐A₁-FB₁C₁=三棱錐F-A₁EC₁+三棱錐C₁-FB₁A₁，利用錐體的體積公式求四棱錐A₁-EFB₁C₁的體積．

解答 （1）證明：∵AC=4，AA₁=2，E為AC，AB的中點(diǎn)，
∴AE=CE=CC₁=AA₁=2，
∴∠C₁EC=∠A₁EA=45°，
∴∠C₁EA₁=90°，
∴C₁E⊥A₁E，
∵CE⊥BE，A₁E∩BE=E，
∴C₁E⊥面A₁EB；
（2）解：連接C₁F，則
四棱錐A₁-EFB₁C₁的體積=三棱錐A₁-EFC₁+三棱錐A₁-FB₁C₁=三棱錐F-A₁EC₁+三棱錐C₁-FB₁A₁
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×\sqrt{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面垂直的判斷以及三棱錐的體積的計(jì)算，要求熟練掌握空間線面垂直的判定定理和三棱錐的體積公式．