Question

17．已知tan（π+α）=2，求下列各式的值：
（1）$\frac{{2cos（\frac{π}{2}-α）+sin（\frac{π}{2}+α）}}{{sin（π+α）+3sin（\frac{3π}{2}+α）}}$；  
（2）$\frac{1}{{（{sinα-3cosα}）（{cosα-sinα}）}}$．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式以及同角三角函數基本關系式化簡表達式為正切函數的形式，代入求解即可．
（2）利用同角三角函數基本關系式化簡表達式為正切函數的形式，代入求解即可．

解答 解：（1）由已知得tanα=2．
∴$\frac{{2cos（\frac{π}{2}-α）+sin（\frac{π}{2}+α）}}{{sin（π+α）+3sin（\frac{3π}{2}+α）}}=\frac{2sinα+cosα}{-sinα-3cosα}=\frac{2tanα+1}{-tanα-3}=-1$．
（2）$\frac{1}{{（{sinα-3cosα}）（{cosα-sinα}）}}=\frac{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}{{4sinαcosα-3{{cos}^2}α-{{sin}^2}α}}$=$\frac{{{{tan}^2}α+1}}{{4tanα-3-{{tan}^2}α}}=5$

點評 本題考查誘導公式的應用，同角三角函數基本關系式的應用，三角函數化簡求值，考查計算能力．