Question

若a=

∫

1 0

 (2x+1)dx，則二項(xiàng)式（ax+

1

x

）⁶的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

 

．

Answer 1

分析：由定積分的定義，令F'（x）=2x-1，則F（x）=x²-x，由公式求出積分值，從而求出a的值，再用展開式的通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則知當(dāng)F（x）=x²+x時(shí)，F(xiàn)'（x）=2x+1
  由定積分的定義得
a=∫₀¹（2x+1）dx=F（1）-F（0）=2-0=2
 （2x+

1

x

）⁶展開式的通項(xiàng)為T _k+1=C₆^k（2x）^6-k（

1

x

）^k=2^6-kC₆^kx^6-2k
令6-2k=0得k=3
展開式中的常數(shù)項(xiàng)為2³C₆³=160
故答案為：160

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是定積分，此類題高中要求較低，能根據(jù)公式求值即可，以及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式特殊項(xiàng)問題的方法．