Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的中心為O，它的一個(gè)頂點(diǎn)為（0，1），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過(guò)其右焦點(diǎn)的直線交該橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)橢圓的方程；
（2）若OA⊥OB，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)離心率，結(jié)合橢圓的幾何量的關(guān)系，求解即可得到橢圓的方程．
（2）判斷直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的斜率為k，寫(xiě)出直線AB的方程為y=k（x-1）與橢圓聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），利用韋達(dá)定理結(jié)合OA⊥OB求出k的值，求出|AB|^_，求出直角△OAB斜邊高為點(diǎn)O到直線AB的距離d，然后求解面積．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$∴${c^2}=\frac{1}{2}{a^2}$，…（1分）
依題意b=1，∴a²-c²=1，…（2分）
∴${a^2}-\frac{1}{2}{a^2}=1$∴a²=2，…（3分）
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$；…（4分）
（2）橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，A，B的坐標(biāo)為$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），（1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
此時(shí)${k_{OA}}×{k_{OB}}=-\frac{1}{2}≠-1$∴直線AB與x軸不垂直，…（5分）
設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-1），
與$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$聯(lián)立得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\;{x_1}{x_2}=\frac{{2（{k^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}$，$M（\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\frac{-k}{{2{k^2}+1}}）$．…（7分）
∵OA⊥OB，∴k_OA×k_OB=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+k（x₁-1）k（x₂-1）=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}-{k^2}（{x_1}+{x_2}）+{k^2}=0$，
∴$\frac{{2（{k^2}+1）（{k^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}-\frac{{4{k^4}}}{{2{k^2}+1}}+{k^2}=0$，∴k²=2∴$k=±\sqrt{2}$，…（9分）
∴|AB|²=4|OM|²=$4[{（\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}）^2}+{（\frac{-k}{{2{k^2}+1}}）^2}]=\frac{72}{25}$，∴$|AB|=\frac{{6\sqrt{2}}}{5}$．…（11分）
直角△OAB斜邊高為點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，…（12分）
∴△OAB的面積為$\frac{1}{2}d|AB|=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}×\frac{{6\sqrt{2}}}{5}=\frac{{2\sqrt{3}}}{5}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及計(jì)算能力．