【題目】如圖,在四棱錐中,⊥底面,⊥,∥,AD=DC=AP=2,AB=1,點E為棱PC的中點.
(1)證明:BE⊥DC;
(2)若F為棱PC上一點,滿足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值.
【答案】(1)解析(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,求出 =(0,1,1),=(2,0,0),由.=0,能證明BE⊥DC;(Ⅱ)由BF⊥AC,求出,進而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量,由此利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣P的余弦值.
詳解: (1)以點為原點建立空間直角坐標系如圖,可得,,,
由為棱的中點,得,故,
所以·=0,所以BE⊥DC.
(2) ,,,
由點在棱上,設=λ,,
故=+=+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ).
由BF⊥AC,得·=0,因此2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=,
即=
設為平面的法向量,
則,即
不妨令z=1,可得為平面FAB的一個法向量.取平面的法向量,
則cos〈n1,n2〉===-.
易知,二面角是銳角,所以余弦值為
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在直角坐標系中,已知曲線的參數方程為(為參數)。曲線的參數方程為(為參數),在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線,的極坐標方程;
(2)在極坐標系中,射線與曲線交于點,射線與曲線交于點,求的面積(其中為坐標原點).
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【題目】已知都是定義域為的連續(xù)函數.已知:滿足:①當時,恒成立;②都有.滿足:①都有;②當時,.若關于的不等式對恒成立,則的取值范圍是
A. B.
C. D.
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【題目】下列命題中,真命題的序號是__________.
①“若,則”的否命題;
②“,函數在定義域內單調遞增”的否定;
③“”是“”的必要條件;
④函數與函數的圖象關于直線對稱.
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【題目】已知橢圓:()經過點,且兩個焦點,的坐標依次為和.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設,是橢圓上的兩個動點,為坐標原點,直線的斜率為,直線的斜率為,若,證明:直線與以原點為圓心的定圓相切,并寫出此定圓的標準方程.
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【題目】如圖,焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓都過點,中心都在坐標原點,且橢圓與的離心率均為.
(Ⅰ)求橢圓與橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點M的互相垂直的兩直線分別與,交于點A,B(點A、B不同于點M),當的面積取最大值時,求兩直線MA,MB斜率的比值.
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【題目】對一批產品的內徑進行抽查,已知被抽查的產品的數量為200,所得內徑大小統(tǒng)計如表所示:
(Ⅰ)以頻率估計概率,若從所有的這批產品中隨機抽取3個,記內徑在的產品個數為X,X的分布列及數學期望;
(Ⅱ)已知被抽查的產品是由甲、乙兩類機器生產,根據如下表所示的相關統(tǒng)計數據,是否有的把握認為生產產品的機器種類與產品的內徑大小具有相關性.
參考公式:,(其中為樣本容量).
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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