Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距為2
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知橢圓C與直線x-y+m=0相交于不同的兩點M、N，且線段MN的中點不在圓x²+y²=1內，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用離心率與焦距，求出a²=2，b²=1，即可得到橢圓的方程．
（2）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}x-y+m=0\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y，利用判別式求出m的范圍，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韋達定理求出MN中點坐標，通過MN的中點不在圓x²+y²內，得到不等式，求解即可．

解答 解：（1）由題意知$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，2c=2，又a²-b²=c²，解得$a=\sqrt{2}$，c=1，∴a²=2，b²=1
故橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（2分）
（2）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}x-y+m=0\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y可得3x²+4mx+2m²-2=0
則$△=16{m^2}-12（2{m^2}-2）＞0⇒-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$…（5分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{4m}{3}$，${y_1}+{y_2}=\frac{2m}{3}$
∴MN中點坐標為$（-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}）$…（8分）
因為MN的中點不在圓x²+y²內，
所以${（-\frac{2m}{3}）^2}+{（\frac{m}{3}）^2}≥1⇒m≥\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$或$m≤-\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$…（10分）
綜上，可知$-\sqrt{3}＜m≤\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$或$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}≤m＜\sqrt{3}$…（12分）
注：用點差法酌情給分

點評 本題考查橢圓的方程的求法，在下雨橢圓的位置關系的綜合應用，圓的方程的綜合應用，考查計算能力．