Question

【題目】已知，其中.

（1）若，且曲線在處的切線過原點(diǎn)，求直線的方程；

（2）求的極值；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)， ，證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;

（Ⅱ）見解析

（Ⅲ）見解析.

【解析】試卷分析：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求得f（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；（Ⅱ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得有兩個(gè)不同的實(shí)根，討論當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a>0時(shí)，判斷單調(diào)性可得極大值大于0，解不等式即可得到所求范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，， ，構(gòu)造函數(shù)對(duì)不等式進(jìn)行證明；

試卷解析：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，

所以切線的斜率，又直線過原點(diǎn)，所以，

由得，.

所以，故切線的方程為，即.

（Ⅱ）由 ，可得，

①當(dāng)時(shí) ， ，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

在時(shí)取到極小值，且，沒有極大值；

②當(dāng)時(shí) 或， .在，上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，在時(shí)取到極大值，

且，在時(shí)取到極小值，且；

③當(dāng)時(shí)恒成立，在上單調(diào)遞增，沒有極大值也沒有極小值；

④當(dāng)時(shí) 或， ，在，上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，在時(shí)取到極小值，且.在時(shí)取到極大值，且.

綜上可得，當(dāng)時(shí)，在時(shí)取到極小值，沒有極大值；

當(dāng)時(shí)，在時(shí)取到極大值，在時(shí)取到極小值；

當(dāng)時(shí)，沒有極大值也沒有極小值；當(dāng)時(shí)，在時(shí)取到極小值.

在時(shí)取到極大值.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，

且 .

所以 ，

設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

由且可得，所以 ，

即 .