【題目】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為菱形，D為AB的中點，為等腰三角形，∠ACB＝，∠ABB1＝，且AB＝B1C.

（1）證明：CD⊥平面ABB1A1 ；

（2）求CD與平面A1BC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1)推導出CD⊥AB,連結(jié)B1D,設AB=2a,推導出CD⊥B1D,由此能證明CD⊥平面ABB1A1；(2)以D為坐標原點，建立空間直角坐標系,利用向量法能求出CD與平面所成角的正弦值.

證明：因為D為AB的中點，，所以．
連接，設，因為四邊形為菱形，D為AB的中點，，
所以，
又為等腰直角三角形，，所以，

所以，則D.

因為，所以平面

（2）以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，則0，，，，0，，

所以，，

設平面的法向量為y，，則，

即，令，得．

設CD與平面所成角為，因為，

所以

所以，

即CD與平面所成角的正弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點，與拋物線相交于、兩點，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）設為拋物線上任意一點（異于頂點），過做傾斜角互補的兩條直線、，交拋物線于另兩點、，記拋物線在點的切線的傾斜角為，直線的傾斜角為，求證：與互補.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，且，點在橢圓內(nèi)部，點在橢圓上，則以下說法正確的是（ ）

A.的最小值為

B.橢圓的短軸長可能為2

C.橢圓的離心率的取值范圍為

D.若，則橢圓的長軸長為

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線與坐標軸的交點都在圓C上.

（1）求圓C的方程；

（2）若圓C與直線交于A，B兩點，且，求a的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】體溫是人體健康狀況的直接反應，一般認為成年人腋下溫度T（單位：）平均在之間即為正常體溫，超過即為發(fā)熱．發(fā)熱狀態(tài)下，不同體溫可分成以下三種發(fā)熱類型：低熱：；高熱：；超高熱（有生命危險）：．某位患者因患肺炎發(fā)熱，于12日至26日住院治療．醫(yī)生根據(jù)病情變化，從14日開始，以3天為一個療程，分別用三種不同的抗生素為該患者進行消炎退熱．住院期間，患者每天上午8：00服藥，護士每天下午16：00為患者測量腋下體溫記錄如下：

抗生素使用情況

沒有使用

使用“抗生素A”療

使用“抗生素B”治療

日期

12日

13日

14日

15日

16日

17日

18日

19日

體溫（）

38.7

39.4

39.7

40.1

39.9

39.2

38.9

39.0

抗生素使用情況

使用“抗生素C”治療

沒有使用

日期

20日

21日

22日

23日

24日

25日

26日

體溫（）

38.4

38.0

37.6

37.1

36.8

36.6

36.3

（I）請你計算住院期間該患者體溫不低于的各天體溫平均值；

（II）在19日—23日期間，醫(yī)生會隨機選取3天在測量體溫的同時為該患者進行某一特殊項目“a項目”的檢查，記X為高熱體溫下做“a項目”檢查的天數(shù)，試求X的分布列與數(shù)學期望；

（III）抗生素治療一般在服藥后2-8個小時就能出現(xiàn)血液濃度的高峰，開始殺滅細菌，達到消炎退熱效果．假設三種抗生素治療效果相互獨立，請依據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷哪種抗生素治療效果最佳，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為徹底打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，2020年春，某市政府投入資金幫扶某農(nóng)戶種植蔬菜大棚脫貧致富，若該農(nóng)戶計劃種植冬瓜和茄子，總面積不超過15畝，幫扶資金不超過4萬元，冬瓜每畝產(chǎn)量10 000斤，成本2000元，每斤售價0.5元，茄子每畝產(chǎn)量5000斤，成本3000元，每斤售價1.4元，則該農(nóng)戶種植冬瓜和茄子利潤的最大值為（ ）

A.4萬元B.5.5萬元C.6.5萬元D.10萬元

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“割圓術”是劉徽最突出的數(shù)學成就之一，他在《九章算術注》中提出割圓術，并作為計算圓的周長，面積已經(jīng)圓周率的基礎，劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數(shù)值，這個結(jié)果是當時世界上圓周率計算的最精確數(shù)據(jù).如圖，當分割到圓內(nèi)接正六邊形時，某同學利用計算機隨機模擬法向圓內(nèi)隨機投擲點，計算得出該點落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269，那么通過該實驗計算出來的圓周率近似值為（參考數(shù)據(jù)：）

A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）設為曲線上位于第一，二象限的兩個動點，且，射線交曲線分別于，求面積的最小值，并求此時四邊形的面積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓（）的離心率是，點在短軸上，且。

（1）球橢圓的方程；

（2）設為坐標原點，過點的動直線與橢圓交于兩點。是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案