設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a,公比q>0且q≠1,前n項和為Sn
(Ⅰ)當a=1時,S1+1,S2+2,S3+1三數(shù)成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)對任意正整數(shù)n,命題甲:Sn,(Sn+1+1),Sn+2三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列. 命題乙:Sn+1,(Sn+2+1),Sn+3三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列.求證:對于同一個正整數(shù)n,命題甲與命題乙不能同時為真命題.
【答案】分析:(Ⅰ)由已知條件S1+1,S2+2,S3+1三數(shù)成等差數(shù)列,∴2(S2+2)=(S1+1)+(S3+1),再由通項公式及前n項和公式及a=1,可求出q的值.
(Ⅱ)先假設(shè)對于同一個正整數(shù)n,命題甲與命題乙同時為真命題,由此可得出q=1,從而得出矛盾.
解答:解:(Ⅰ)∵數(shù)列{an}是首項為a=1,公比q>0且q≠1的等比數(shù)列,
,∴S1+1=1+1=2,S2+2=1+q+2=q+3,S3+1=1+q+q2+1=2+q+q2,
又∵S1+1,S2+2,S3+1三數(shù)成等差數(shù)列,∴2(S2+2)=(S1+1)+(S3+1),∴2(q+3)=2+2+q+q2,化為q2-q-2=0,
解得q=2,或q=-1,
∵q>0,∴q=2,∴
所以數(shù)列{an}的通項公式為
(Ⅱ)對任意正整數(shù)n,命題甲:Sn,(Sn+1+1),Sn+2三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,?2(Sn+1+1)=Sn+Sn+2?an+2=an+1+2;
對任意正整數(shù)n,命題乙:Sn+1,(Sn+2+1),Sn+3三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,?2(Sn+2+1)=Sn+1+Sn+3?an+3=an+2+2
若對于同一個正整數(shù)n,命題甲與命題乙同時為真命題,則an+3-an+2=an+2-an+1
,又,
∴q2-2q+1=0,∴q=1與已知q≠1相矛盾.
所以對于同一個正整數(shù)n,命題甲與命題乙不能同時為真命題.
點評:本題綜合考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式,熟練掌握以上有關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若8a2+a5=0,則下列式子中數(shù)值不能確定的是(  )
A、
a5
a3
B、
S5
S3
C、
an+1
an
D、
Sn+1
Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

12、設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,巳知S10=∫03(1+2x)dx,S20=18,則S30=
21

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S6:S3=3,則S9:S6=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若
S6
S3
=3,則
S9
S6
=( 。
A、
1
2
B、
7
3
C、
8
3
D、1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n 項和為Sn,若
S6
S3
=3,則
S9
S3
=
7
7

查看答案和解析>>

同步練習冊答案